Математика полёта снарядов в шутерах

Всем снова привет! Как вы уже не помните, я писал блог на тему обнаружения игрока в шутере Return To Castle Wolfenstein, соответственно, в этот раз данный блог дополняет предыдущий блог. В этом блоге обсудим математическое моделирование стрельбы в шутерах с примером в программе Adobe After Effects

Перед ознакомлением с темой желательно вспомнить/ознакомиться со следующими темами в математике:

На сколько нам известно, после обнаружения игрока, противники переходят в стадию атаки и начинают стрелять в игрока, но задумывались ли вы о том, откуда берётся траектория полёта снаряда?

Стоит обратить внимание, что обычно в играх пуля летит строго прямо, то ответ банально прост — пуля летит с помощью построенного уравнения прямой, которая имеет название — уравнение прямой, проходящее через 2 заданные точки плоскости/пространства, и сейчас мы это рассмотрим

Рассмотрим механику стрельбы на плоскости (2D игры)

Как нами было сказано раннее, уравнение прямой проходит через 2 точки. Возникает вопрос: Про какие точки идёт речь, которые необходимы для построения прямой через эти обе точки? Точки:

Важно отметить, что в роли стрелка и в роли мишени, могут быть как сам игрок, так и противник (пример NPC).

Вспоминаем каноническое уравнение прямой, которое имеет следующую формулу:

Где x1,y1 это позиция стрелка, а x2,y2 это позиция мишени (говорилось ранее)

Данную формулу необходимо привести к общему уравнению прямой:

Избавляемся от знаменателя в правой части уравнения

Избавляемся от y1 в правой части уравнения

Далее поменяем местами для наглядности

Таким образом выразили y, он же f(x)

В параметр функции x подставляется значение пули/снаряда от старта до конца (до игрока, либо до другого препятствия).

Старт начинается от x1, y1, а заканчивается x2, y2. Временной промежуток полёта снаряда определяет разработчик. Пример временных промежутков:

Такт полёта снаряда определяется, как правило, счётчиком кадров в секунду. Если снаряд летит издалека, примерно полсекунды при 60 fps, то он совершит 30 тактов минимум до цели, а максимум это до тех пор, пока куда-то не попадёт (не обязательно попадать в цель, может быть промах)

Рассмотрим механику стрельбы на плоскости (2D игры) на примере в After Effects

Напомню, это больше годится для опытных пользователей After Effects, но постараюсь подробно описать, чтоб и новичок в данной программе смог реализовать пример полёта снаряда

Инструкция для реализации моделирования полёта снаряда:

koef = 470;
circleKoef = 450;
koefSin = -1.114;

PosRoma = thisComp.layer("Romaa712").transform.position;
PosEnemy = thisComp.layer("Enemy").transform.position;
Xmin = thisComp.layer("Romaa712").transform.position[0];
Xmax = thisComp.layer("Enemy").transform.position[0];
x=time*koef+Xmin;
if(x>=Xmax) { x=Xmax;}
y=((x-PosRoma[0])*(PosEnemy[1]-PosRoma[1]))/(PosEnemy[0]-PosRoma[0])+PosRoma[1];
t = Math.sin(time*koefSin)*circleKoef;
t=0;
if(x>=Xmax) { t=0;}
[x,y+t]

Полёт гранат и подобных снарядов в 2D играх

Перед тем, как переходить к полёту снаряда в 3D играх (в пространстве) необходимо рассмотреть ещё полёт гранат на примере 2D игр и как это выглядит. 

В первую очередь надо иметь понимание, что такой снаряд через всю карты кинуть невозможно, т.к. он не долетит до противника по причине маленького таймера (примерно до 5-ти секунд). Рассмотрим на примере противника (он же NPC), для которого сначала необходимо добраться как можно ближе к игроку и только при достижении определённого расстояния между ним и игроком он может кинуть в игрока гранату. 

Реализация подсчёта дистанции NPC к игроку. Вспоминаем теорему Пифагора, где первым катетом является разница x(икс) позиции NPC и x(икс) позиции игрока, а вторым катетом является разница y(игрек) позиции NPC и y(игрек) позиции игрока.

Подсчитаем дистанцию между игроком и NPC. Координаты игрока это [2;2], а координаты NPC [5,6], а значит, что катет по разнице x-координат равен 3-ём, а катет по разнице y-координат равен 4-ём, соответственно, гипотенуза равняется 5-ти, т.к. это египетский треугольник. (см. рисунок ниже)

Координаты игрока и NPC

Первый шаг перед полётом гранаты выполнен - это подсчёт расстояния между NPC и игроком, а второй шаг - это траектория полёта гранаты.

Траектория полёта гранаты строется следующим способом:

Для этого необходимо выполнить всю инструкцию для реализации моделирования полёта снаряда раннее, затем подправить код, убрав одну строку

в таком случае симуляция полёта гранаты и баллистических снарядов заработает, а для изменения дуги желательно поэкспериментировать изменяя первые три переменные

В итоге код выглядит следующим образом:

koef = 470;
circleKoef = 450;
koefSin = -1.114;

PosRoma = thisComp.layer("Romaa712").transform.position;
PosEnemy = thisComp.layer("Enemy").transform.position;
Xmin = thisComp.layer("Romaa712").transform.position[0];
Xmax = thisComp.layer("Enemy").transform.position[0];
x=time*koef+Xmin;
if(x>=Xmax) { x=Xmax;}
y=((x-PosRoma[0])*(PosEnemy[1]-PosRoma[1]))/(PosEnemy[0]-PosRoma[0])+PosRoma[1];
t = Math.sin(time*koefSin)*circleKoef;
if(x>=Xmax) { t=0;}
[x,y+t]

Разброс оружия в играх

Как нами было описано раннее, траектория стрельбы строго прямая и все снаряды летят в одну точку, соответственно, это не является реалистичным. Для добавления реализма к стрельбе необходимо обратиться к теории вероятности и тригонометрии.

Итак, под теорией вероятности подразумеваются случайные небольшие величины для случайной отдачи в момент стрельбы, а тригонометрия необходима для того, чтобы поле общего разброса имело круг форму, а не прямоугольную.

Для общего понимания, у нас отныне имеется окружность, центр которого является точкой из построенного уравнения прямой, а регулируется разброс изменением радиуса окружности, отмечается r.

Рассмотрим примеры значений радиуса в играх:

Механика стрельбы в пространстве (в 3D играх)

Механика симуляции стрельбы в пространстве представляет из себя уравнение прямой, проходящее через две точки пространства строится точь в точь по той самой формуле, что и на плоскости, только в данный раз добавляется третья координата, которая отмечается как Z (пространство)

Каноническое уравнение прямой в пространстве

x1,y1,z1 - это точка стрелка

x2,y2,z2 - это точка цели

Данное уравнение считается через x(икс). В него подставляется значение в пределах [x1;x2], таким образом высчитывается параметр t, который затем используется в уравнениях с y(игрек) и z.

Данную механику наглядно можно лицезреть в  Resident Evil 4 remake в миссии на вагонетках, когда в вас стреляют арбалетчики. Крайне наглядно летящая стрела из арбалета летит строго прямо, где x1,y1,z1 это координаты арбалетчика, а x2,y2,z2 координаты Леона и сразу стоит отметить, координаты у арбалетчика и Леона динамичные, и летящая стрела под это автоматически подстраивается.

Подводим итоги блога

В итоге после ознакомления с блогом у читателя появляется картинка о том, откуда берётся функция для полёта пули в играх, для полёта баллистического снаряда в играх и о том, почему необходим разброс после написания функции полёта пули.