Смогу ли я использовать этот адаптер для PS4?

Так подскажите что делать лучше? Или проще купить просто монитор с HDMI?

Лучше монитор с HDMI. У таких переходников может быть масса проблем, в том числе нивелирующих преимущества PS4 Pro перед PS4. Конкретно на эту модель дано очень скудное описание. Ясно только одно — она не может в 4K, не имеет поддержки HDMI 2.0 (только 1.3) и запитывать её надо хотя бы от USB 3.0 (либо вообще отдельным адаптером питания). Что само по себе не критично, но всё же. А может и вообще по каким либо причинам не работать именно с PS4 Pro. Sony — те ещё оригиналы. Так что тут только опытным путём. Либо идти в сообщество сонифилов сониводов, и спрашивать у них.
С другой стороны, разница стоимости адаптера и нового монитора настолько велика, что вполне можно и проверить на практике пару таких коробочек.

А смогу ли я её вообще подключить к адаптеру, если там разные версии HDMI?

И смогу ли я играть в Full-HD если я буду подключать HDMI 1.3?

Да, обратная совместимость между версиями HDMI есть. Но, опять же, это в большей степени касается какого-нибудь проигрывателя, компьютера и тому подобного универсального оборудования. Что заработает PS4 Pro — гарантий нет.

Да.

Просто я пытаюсь на сайте найти адаптеры с HDMI 2.0 и не могу найти.

Это не панацея. Что будет работать адаптер с поддержкой HDMI 2.0 (если такие вообще бывают), тоже никто не гарантирует.

Подойдёт, но звук придется выводить, через тот выход для наушников. VGA звук не передаёт.

Не получится, у меня только в мониторе VGA разъём.