Ошибка игрока или корейский рандом?

Ошибка игрока — это когнитивное искажение, при котором игрок думает, что после серии неудач должна следовать удача, чтобы выровнять статистику. Это именно статистический аспект ошибки, там есть и психологические, но в этом я не шарю и лезть в эти дебри не буду.

Мне давно хотелось разобраться в этой теме. И не просто понять умом, что в общем-то несложно, просто прочитав определение. Хотелось прочувствовать, изменить своё мировоззрение, чтобы её избегать, и понять глубинные причины, которые вызывают эту ошибку. Кроме того, недавно был занятный пост про то, почему люди злятся в играх, хоть и довольно сумбурный. Среди прочего там была в скрытом виде и ошибка игрока.

Буду для примера использовать кубик d20 (двадцатигранник) из DnD. К примеру, игрок раз двадцать ударил в ожидании крита (20 на кубике), но его так и не случилось. И он думает, ну вот сейчас точно будет. Нет? Ну тогда сейчас. Опять нет? Тупая игра!

Первая подстава, которую сложно осознать, в том, что вероятность выбросить 20 двадцаток подряд такая же, как и 20 единиц, как и 1-2-3-4-5-6.... Игрок забывает, что каждый новый бросок независим и вероятность двадцатки точно такая же, как и в предыдущий раз. Тем не менее, интуиция упорно нам подсказывает — вероятность 1/20, значит примерно каждый двадцатый раз должны выпадать двадцатка, да? Да.

Но. Для 1d20 распределение с точностью вероятностей 1/20 ± 50% проявится примерно через 240 бросков! А это очень грубо, каких-то граней при таком количестве будет вполовину больше нужного, каких-то вполовину меньше. И первую половину я люблю вполовину меньше, чем она того заслуживает, а вторую знаю вполовину хуже, чем хотел бы.

Для приемлемой точности нужны будут тысячи бросков.

То есть, несмотря на интуитивное правильное ощущение, что вероятности должны быть равномерны, это ощущение рождается катастрофически рано. У рандома впереди очень много шансов выровнять распределение.

Далее, вероятность не выбросить хотя бы одну двадцатку после 20 бросков около 36%, это чуть больше трети. Не то, чтобы редкое явление.

Так можем ли мы что-то прогнозировать? Если каждый раз ориентироваться на неопределенную близкую удачу - нет. Что же делать?  Надо начинать считать до игры. Нужен мета-анализ с другим подходом — выявления требуемой степени прочности, чтобы пережить полосу неудач.

Держите очень простую эвристическую формулу, по которой можно оценить количество бросков, чтобы с 95% вероятностью выбросить определённое число. Это просто

n = 3k, где k – количество граней.

Если не грани кубика, а некоторая известная вероятность p, то k = 1/p

Для d20 после 60 бросков с 95% вероятностью выпадет хотя бы одна двадцатка (или любое другое число).

Как это использовать? Допустим, у нас есть враг с бешеной защитой, и который бьёт очень метко, но слабо, скажем, на 10 хп. Мы можем в него попасть только критом. Зато у нас есть супернавороченная коса +5 с критическим диапазоном X5, которой мы убьем противника с одного крита. То есть, нам надо иметь по меньшей мере, 601 хп (с условием, что мы бьём по очереди), чтобы убить его с 95% вероятностью за один заход. А если есть только 301 хп, то стоит запастись по меньшей мере одним, скажем, зельем невидимости. Учитывая, что враг умирает с одного удара, количество заходов не имеет значения — вероятность действительно будет накапливаться, но теперь вы будете статистически подготовлены и не будете ругаться, что крит не выпал на аж пятнадцатом броске. Думаю, частично отсюда возникает подход, что лучше отложить босса на следующий день: если шанс победить связан с рандомом, за один вечер не наберётся нужное количество заходов, чтобы его победить.

А потом вы приходите и с первого раза критуете, вспоминая Пратчета.

Поэтому, в контру цитате, теперь — взрыв мозга. Представьте, что мы много тысяч раз делаем серию бросков кубика, пока не выпадет 20. Как думаете, какая будет наиболее частая серия неудач? 0! Ноль! В большинстве случаев мы будем выбрасывать двадцатку с первого раза.

Вот распределение симулированное на основе 100000 бросков

В большинстве случаев мы будем выбрасывать двадцатку с первого раза. Хотя доля и не большая — 5%. Почему? Объяснение настолько же простое, насколько диким кажется результат. Вероятность выбросить 20 с первого раза — 1/20. Вероятность выбросить со второго раза — это перемножение вероятности не-выбросить 20 и выбросить 20, то есть, 19/20*1/20, что всегда будет меньше, чем 1/20. Это геометрическое распределение, детка.

В чем тут подвох? В слове «частая». Мы находим так называемую моду — наиболее частое значение, и в нормальном, интуитивно привычном распределении мода и средняя (и медиана — значение посередке) примерно равны. Но у геометрического распределения бесконечно тяжелый правый хвост — потенциально, можно сколько угодно долго бросать кубик и так и не выбросить двадцатку. Но среднее количество бросков в серии будет то, которое интуитивно ожидаемо — 20 (в симуляции — 20,02). То есть, в среднем, надо бросить кубик 20 раз, чтобы выбросить двадцатку, но ничего удивительного в нескольких критах и в нескольких критических промахах подряд, нет. Это норма.

А если подключить комбинаторику, станет довольно очевидно, что уже в достаточно малой серии будут всплывать одинаковые числа в разных местах, потому что комбинация без парных чисел — уникальна, а комбинация, в которой есть парное число, может появиться несколькими способами.

Теперь немного про коллекционирование, где также возникает ошибка игрока. Насколько я знаю, существую в Японии (а может уже и не только в Японии) гача-автоматы, где за денюжку можно получить случайную штуковину. В Tokyo Xanadu Ex+ есть такой.

Или тот случай, когда мы покупаем запакованные случайные коллекционные предметы. В этом случае тоже можно обмануться, переоценивая свои шансы.

Сколько нужно купить предметов, чтобы собрать всю коллекцию (при условии, что разные элементы коллекции имеют одинаковый шанс выпасть)? Это «задача коллекционера». Держите еще одну приблизительную формулу для 95% вероятности, такую же простую:

n = 6k, где k – количество граней, или 1/p, где p – вероятность вытянуть предмет.

Возьмём опять 20-гранный кубик, то есть, сколько раз нужно бросить кубик, чтобы выпали все грани с вероятностью 95%. Нужно 120 бросков кубика. Теперь вы можете планировать свои шансы и ресурсы.

Среднее количество бросков кубика в результате множества серий будет при этом приблизительно равно k ×(ln(k)+0,6), где ln – натуральный логарифм, то есть, 72 - это приблизительно шанс 50%. Можно прикинуть на калькуляторе. Чувствуете, что 50% находится не очень посередке между 95% и 0?

Если вероятности разных элементов коллекции различаются, вычисления становятся намного сложнее. Но если есть много мусора и только одна «легендарка», то возвращаемся к первой формуле 3k, потому что задача сводится к тому, чтобы выбить легендарку, а остальное соберётся по пути.

Вот распределение для сбора всех 20 граней:

95% шанс по результатам симуляции — 117 бросков, 50% - 68

И в этом заключается весь подвох гача: распределение имеет тяжёлый правый хвост, то есть, всегда будет достаточно много победителей, чтобы подбить других к покупке, но те, кому повезло меньше, будут тратить гораздо больше денег.

50% затратят X денюжек (за 50- 60 «круток»), 25% - 0.8X денюжек, 10% - 0,6X, но еще 10% — 1,8X, а 1% - 2,5X

Причём место расслоения на группы — сбор последних элементов коллекции.

Ну и в заключение, а если вы думаете, что с шансами что-то не так, то как можно распознать подставу? В идеале — сделать очень много «бросков» и посчитать хи-квадрат. Именно этим и занимался Шелдон, когда хотел обыграть казино, пока его не выпроводили (что как бы намекает, что шансы были).

Но есть один простенький эвристический приём, который называется «правило трёх». Помните, я писал формулу n = 3k? Правило трёх — обратная сторона этой формулы.

Если за n попыток не произошло какое-то редкое событие, то с 95% точностью вероятность этого события меньше 3/n. Если вы просмотрели 100 штук клевера и не нашли четырёхлистного, вероятность его найти меньше 3/100 = 0,03 (3%). Это не чистая статистика, а именно, что эвристический приём, который работает тем лучше, чем реже событие и больше выборка. Эта тройка очень элегантным образом возникает из того, что ошибка при достоверности 0,95 = 0,05, а ln(0,05) = приблизительно -3

Под конец, я раздумывал, так почему же возникает ошибка игрока, откуда это когнитивное искажение?

И пришёл к выводу, что наш мозг не умеет интуитивно обрабатывать асимметричные распределения, уходящие в бесконечность. Для нас мода (наиболее частое событие), медиана (делит шансы пополам) и среднее (математическое ожидание) привычны, когда находятся в одном месте. Но бросая кубик, надо ждать втрое дольше, чтобы быть уверенным в результате. Вероятность неудачи убывает медленнее, чем нам кажется. В природе рандом не завязан на одном кубике, там бросаются тысячи кубиков сразу и суммируется результат, поэтому и распределение, и ожидание другие. Поэтому «надейся на лучшее, готовься к худшему» — прекрасное приближение для интуитивной обработки геометрического распределения и ошибки игрока.

Не является пропагандой азартных игр.